小球从A点到B点运动过程，竖直加速度最值及功率探讨？
轻绳的一端被牢牢地固定在O点，而另一端则连接着一个小球。接着，我们将轻绳绷直，并将小球从与O点高度相同的A点静止释放。在忽略空气阻力的影响，并且重力加速度的大小为g的情况下，小球从A点运动至B点这一最低点的整个过程中，（ ）
A．竖直方向上加速度的最大值为g，最小值为0
B．竖直方向上加速度的最大值为3g、最小值为g
C．竖直方向上的加速度最小时，重力的瞬时功率最大
D．竖直方向上的加速度最小时，重力的瞬时功率最小
此题为单项选择题，首先可排除选项A和B。在小球运动期间，其竖直方向上的加速度初始时朝下，且数值随时间逐渐减小至g。同时，轻绳的拉力大小和方向持续变化，导致小球的竖直加速度方向转为向上。依据动能定理及圆周运动的相关知识，当小球抵达最低点时，其向上的速度大小达到2g，为最大值。因此，选项A和B均不正确。
针对CD两项，我们可以通过动能定理、圆周运动的相关原理以及牛顿第二定律，推导出小球在竖直方向上的加速度计算公式为：
ay=g﹣θ（其中θ是轻绳与水平方向的夹角）
当3 sin2θ=1时，ay=0是最小值。
关于重力的瞬时功率，也可以写出表达式：
至于重力瞬时功率何时达到最大值和最小值的具体时间，我们首先可以确定的是，在A点和B点，该功率均降至了最小值0。由此可知，选项D是不正确的，因此我们只能选择C作为答案。
自然，对于重力瞬时功率达到峰值的具体时间点这一问题，同样能够得到解答，它本质上也是一个寻找极值点的问题。
以长度为L的细线将质量为m的球体悬挂于O点，确保细线保持笔直状态。将球体从细线与水平面平行时的静止状态释放，使其在竖直平面内进行运动。在此过程中，需计算重力对球体所做的功达到最大时的瞬时功率。（重力加速度记为g）
解答：
当小球与细线形成角度θ，其速度达到v时，根据动能定理，对小球运动状况进行计算可得：
在此情况下，m、g、L均为固定常数，而P的值则随θ的改变而变动。借助微分学的原理，我们可以计算出功率P的最大值。然而，通过运用恒等式的变换，并采用均值不等式的方法，同样可以达到这一目的。具体推导过程如下：，
由于
这样，就有理有据的得出了选项C正确的结论。
某同学投篮成功，篮球准确无误地穿过篮筐。投篮时，篮球离篮筐的水平距离是7.2米。当篮球进入篮筐时，其运动轨迹与起跳时的运动方向形成直角。在忽略空气阻力的情况下，假设重力加速度g为10米每平方秒。据此，我们可以计算出篮球从被投出到落入篮筐所需的时间是（ ）。
A．1.6s B．1.4s
C．1.2s D．1.0s
这同样是一道单选题，属于数值计算题型。题目涉及的是斜抛运动的相关物理知识，具体是指物体以斜向上的角度被抛出。然而，题目中并未给出初速度的具体数值和方向，只知道末速度与初速度之间形成垂直关系。解题时，需要根据篮球从初始位置到最终位置的位移距离以及加速度的数值，来推算出整个运动过程所需的时间。
一个基本的方法是将篮球的斜向投掷动作分解为水平面上的恒速移动和垂直方向上的向上抛射动作的组合，经过本人亲自推导，最终可以转化为：
（其中L=7.2m，是出手点与篮筐的距离）
这个结果事先是无法想到的，这正是定量推导的神奇之处！
由上式解得t=1.2s。
答案：C。
这种最基础的做法虽然简单易得，然而在考试过程中未必能够顺利完成，更别提是否有勇气去尝试了。
当然，有些考生可能会考虑到一种特殊情况，即篮球从距离篮筐水平面7.2米的某一点，以45°的倾斜角度斜向上抛出。这种情况下，自然符合题目的要求，同时也能够在较短的时间内找到答案。
采用基于数学和物理领域的关键定理以及丰富的实践经验来解决问题，这样的做法更能确保万无一失。
有关抛物线的一些数学、物理重要结论：
1、抛物线切线的性质和结论（对称轴为y轴）：
性质一指出，两条切线相交的点与它们各自切触的点的水平距离相等；换句话说，这些交点和切触点在x轴方向上的间隔是相等的；此外，这一性质以y轴作为其对称轴。
性质二：在单位抛物线上，任意一点到其切点的水平距离等于该点到切线垂直距离的平方。
2、抛物线的光学性质
抛物线具备的特性之一是，当光线与对称轴平行射向曲线时，经过反射会聚集于焦点；而若光线从焦点射向抛物线（在三维空间中即为抛物面），反射后则会与对称轴保持平行。
3、抛物线的切线与弦的性质
弦AB（无论是否经过焦点）的端点所引切线的交点P，以及弦的中间点所形成的直线，均与对称轴保持平行关系。
4、抛物线中的阿基米德三角形的重要性质
在圆锥曲线上选取任意两点A和B，分别从这两点画出两条切线，这两条切线在点P处交汇。我们称这样的三角形PAB为阿基米德三角形。在这个三角形中，点P是顶角所在的位置，而线段AB则是底边。如果线段AB恰好穿过圆锥曲线的焦点，那么这个三角形PAB就被称为阿基米德焦点三角形。
性质1：阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的对称轴；
属性二：阿基米德三角形的底边中线上存在一个中点，该点位于抛物线之上，并且从该点引出的切线与底边保持平行。
5、物理结论
在物理学领域，当一个物体沿曲线轨迹从A点移动至B点时，若该轨迹呈抛物线形状（即匀变速曲线运动，类似于抛体曲线运动），那么物体在A、B两点速度方向的延长线（包括反向延长线）的交点P，指向位移AB中点O的方向，这一方向即代表加速度的方向（与抛物线的对称轴平行）。依据运动合成与分解的相关原理，我们可以得知，在A、B两点，物体的速度幅度遵循公式v_A*sinα等于v_B*sinβ，这里的α和β分别代表了速度方向与位移AB线段形成的夹角。
凭借这些数学和物理的定理，我们再解决那道关于投篮进篮的问题时，过程会显得更加顺畅和简单。
图中所示，A点为篮球被抛出的起始位置，B点为篮球落进篮筐的终点，两点之间的距离AB等于L，其长度为7.2米。篮球在运动过程中的加速度为g，其数值为10米每平方秒，加速度的方向是垂直向下，也就是指向P至M的方向，而M点则是AB线段的中点。
基于前述的数学和物理定理，我们可以得出结论：角PAM等于角PBM，均为90度，同时，线段PM、AM和BM的长度相等。
∠APM=∠PNB=∠PAM，AB=NB= L=7.2m。
此时，我们将篮球的斜抛轨迹视为初速度方向上的匀速直线运动与竖直方向上的自由下落运动的叠加，据此，竖直方向上的位移达到7.2米。根据位移公式，我们可以计算出时间t为1.2秒。因此，正确答案是C。
观察发现，要想准确回答物理题目，既要对物理学的核心概念有深入把握，亦需掌握丰富的数学知识以及若干关键性的结论。
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